Михаил Алексеевич родился 6 ноября 1900 года в Казани, в семье преподавателя математики. Среднее образование получил в Казанском коммерческом училище, позже поступил в Казанский университет, где и получил первый опыт преподавания, а также стал лаборантом кабинета Механики. Жизнь Лаврентьевых поменялась в 1921 году: вся семья переехала в Москву, где Михаил Алексеевич перевелся на физико-механический факультет МГУ. В том же году будущий ученый параллельно с учебой начал преподавать в Московском высшем техническом училище (ныне МГТУ имени Н.Э Баумана) и проработал там до 1929 года. Так его жизнь тесно переплелась с механикой и математикой.

В 1927 защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук и был командирован на полгода во Францию для научного совершенствования. Общение с видными французскими математиками Данжуа, Адамаром, Монтелем, лекции Гурса, Бореля и Жулиа, участие в семинарах по теории функций стало для него хорошей школой.

Научная деятельность ученого была многообразна: он проводил исследования в области взрывов, экспериментировал в области военной инженерии, участвовал в создании отечественного кумулятивного снаряда. Внимание ученого привлекла также теория длинных волн на поверхности жидкости при действии силы тяжести.

В годы Второй мировой войны вместе с АН УССР Лаврентьев был эвакуирован на Урал в Уфу. Продолжил исследования в области взрывов. Предположив, что при высоких температурах материалы ведут себя подобно вязким жидкостям, разработал гидродинамическую теорию кумуляции. Результаты исследований, в том числе важнейший – глубина проникновения струи в преграду, приведены в статье Кумулятивный заряд и принципы его работы, 1957. Успешно решил ряд военно-инженерных задач, участвовал в создании отечественного кумулятивного снаряда. При исследовании особенностей кумуляции было обнаружено явление сварки металлов взрывом, получившее широкое применение в дальнейшем.

В 1945 году Лаврентьев занимает пост вице-президента АН УССР. В 1946 году был избран академиком АН СССР, получил Сталинскую (государственную) премию за исследование в области теории функций комплексного переменного и создание теории квазиконформных отображений. В 1949 году ему присудили вторую Сталинскую премию за созданную им теорию кумулятивных струй.

В 1950 избран директором Института точной механики и вычислительной техники (созданного в 1948 в Москве), главным конструктором которого стал Лебедев, специалист в области электротехники и вычислительной техники, впоследствии академик АН СССР. В Институте в кратчайшие сроки создаются первые образцы советских электронных счетных машин – родоначальниц отечественной вычислительной техники. Руководил этим институтом до 1953.

С 1951 по 1953 был академиком-секретарем отделения физико-математических наук АН СССР. Исключительное внимание уделял развитию главных направлений тогдашней науки, ее конкретной связи с практикой. С 1953 по 1955 работал вместе с руководителем советского атомного проекта академиком Курчатовым, был заместителем главного конструктора Министерства среднего машиностроения. В 1955 избран в члены Президиума АН СССР, с 1955 по 1957 вновь – академик-секретарь Отделения физико-математических наук АН СССР.

В 1957 году совместно с академиками Христиановичем и Соболевым выдвинули идею о создании научных комплексов в Сибири. Задумку поддержали многие крупные ученые. 18 мая 1957 года было принято правительственное решение о создании Сибирского отделения АН СССР, и его председателем стал Лаврентьев. Сибирское отделение стало широко известно во всем мире, рекомендованное не только серией фундаментальных разработок, но и приложением их к самым жизненно важным задачам развития Сибири, Дальнего Востока и европейской части страны. При активном участии Лаврентьева создавался и Новосибирский государственный университет. Базой для студенческой практики стали научные институты новосибирского Академгородка.